ПипкаПипкаПипка

СОК пишет:Ну лучше к экзамену решить личную пипку и сдать ему так он добрее станет

НГ пишет:

СОК пишет:Ну лучше к экзамену решить личную пипку и сдать ему так он добрее станет

А я с личной закончил уже)

Дальше все что можем раскладываем и долбим с нодами, и получается.

PasGal пишет:

Дальше все что можем раскладываем и долбим с нодами, и получается.

Я понимаю что это было бы ударом по твоей репутации если бы ты хоть что-нибудь написал понятно, но пожалуйста, поясни это
представь, что я яна голикoва

НГ пишет:

PasGal пишет:

Дальше все что можем раскладываем и долбим с нодами, и получается.

Я понимаю что это было бы ударом по твоей репутации если бы ты хоть что-нибудь написал понятно, но пожалуйста, поясни это
представь, что я яна голикoва

Все просто, правда заняло пол странице, когда все остальное тоже пол странице.
x=sqrt[4](17),y=sqrt(17)
разложили на ((1-y)/2 , 2)*((1+y)/2 , 2)
Далее из-за того что двойка ветвится и норма 16, и простые само сопряжены, то получаем,что 2=p^2qr или p^4 или p^2q^2. В итоге будет первый случай.
Далее мы все перебираем и получаем, что одно из ((1-y)/2 , 2) ((1+y)/2 , 2) p^2, а другое qr.
Раскладываем первое тривиальным образом, (1-y)=(1-x)*(1+x). Значит каждое из (1-x) (1+x) делится на pqr(очевидно что на p^2 не дел), они самосопряжены, поэтому одно pq^ar, другое pqr^a, тк (1-y) четное. 4/(1-x) у нас целое и нечетное, и поэтому одно pq^2r, а другое pqr^2.
Далее смотрим, что тогда ((1-y)/2 , 2)=qr, ((1+y)/2 , 2)=p^2. все p q и r из написанных соотношений очевидно выразятся

PasGal пишет:

НГ пишет:

PasGal пишет:

Дальше все что можем раскладываем и долбим с нодами, и получается.

Я понимаю что это было бы ударом по твоей репутации если бы ты хоть что-нибудь написал понятно, но пожалуйста, поясни это
представь, что я яна голикoва

Все просто, правда заняло пол странице, когда все остальное тоже пол странице.
x=sqrt[4](17),y=sqrt(17)
разложили на ((1-y)/2 , 2)*((1+y)/2 , 2)
Далее из-за того что двойка ветвится и норма 16, и простые само сопряжены, то получаем,что 2=p^2qr или p^4 или p^2q^2. В итоге будет первый случай.
Далее мы все перебираем и получаем, что одно из ((1-y)/2 , 2) ((1+y)/2 , 2) p^2, а другое qr.
Раскладываем первое тривиальным образом, (1-y)=(1-x)*(1+x). Значит каждое из (1-x) (1+x) делится на pqr(очевидно что на p^2 не дел), они самосопряжены, поэтому одно pq^ar, другое pqr^a, тк (1-y) четное. 4/(1-x) у нас целое и нечетное, и поэтому одно pq^2r, а другое pqr^2.
Далее смотрим, что тогда ((1-y)/2 , 2)=qr, ((1+y)/2 , 2)=p^2. все p q и r из написанных соотношений очевидно выразятся

пожалуй просто отправлю ему этот текст

PasGal пишет:Признаться, я не знаю что это за бабуйня

Но если пипушку это устроит, у меня вопросов нет

Отлично, спасибо.

Ну хорошо, теперь разложение на имножители правильное.

Не вполне понял, каким перебором заключили, что 1-a --- это pq^2r,
а 1+a=pqr^2 после того, как заключили, что оба делятся на pqr.
Прчему на на p^2 не делятся не понял.
И случай 2=p^2q^2 тоже ведь отметается при помощи подобных рассуждений, которые не написаны? или проще?

Hi Paul,

Thanks for writing to Dr Math. In fact, the product of the two number
field elements (2+q)(2-q) = -q, which is not 2. But the ideal (2) is
certainly the product of the two ideals (2,q)(2,1-q). The question
that remains is only: Are the ideals (2,q) and (2,1-q) inert prime
ideals in $Q[\sqrt[4]{17}]$, or does either one split into a product
of two prime ideals or perhaps ramify?

Let r = \sqrt[4]{17}, so that r^4 = 17, and q = (1 + r^2)/2 is an
algebraic integer as you pointed out (since q^2 - q - 4 = 0). Since
your polynomial factors as (x+1)^4 over F_2, it makes you wonder about
the element r+1. The norm of r+1 is -16. The norm of q is 16. (That
is, the norm in $Q[\sqrt[4]{17}]$ is 16, while its norm in
$Q[\sqrt{17}]$ is -4.) That made me wonder about the ideals
(2,q,1+r), (2,q,1-r), (2,1-q,1+r), and (2,1-q,1-r). So I did a few
calculations and found that

(2,q,1+r)(2,q,1-r) = (2,(1-r)q)
(2,1-q,1+r)(2,1-q,1-r) = (4,1-q,2(1+r))
(2,(1-r)q)(4,1-q,2(1+r)) = 2(4,1-q,2(1+r))

but the last equation implies that

(2,(1-r)q) = (2)

which means that (1-r)q is in the ideal (2), and therefore

t = (1-r)q/2 = (1-r)(1+r^2)/4

is an algebraic integer. Sure enough, you can check that it satisfies
the minimal polynomial

t^4 - t^3 - 6*t^2 - 16*t - 16.

Interestingly, the norm of t is also -16, just like r+1 and q. We
would expect something similar for

(1+r)q/2 = t + rq

and probably for (1-r)(1-q)/2 = 1 - r - t and (1+r)(1-q)/2 = 1 + r - t
- rq. It turns out that the ring of algebraic integers is generated
by (is the set of integer-linear combinations of) 1, r, q, and t. So
the ideals containing 2 are just the 16 ideals

(2, t+q+r+1)
(2, t+q+r )
(2, t+q +1)
(2, t+q )
(2, t +r+1)
(2, t +r )
(2, t +1)
(2, t )
(2, q+r+1)
(2, q+r )
(2, q +1)
(2, q )
(2, r+1)
(2, r )
(2, 1)
(2, 0).

So all prime factors lying over 2 must be among that list. Of course
(2,0) = (2) and we already know that isn't prime. And (2,1) = (1) is
the trivial (multiplicative identity) ideal. Of course, (2,q+1) =
(2,1-q), and we already know that (2) = (2,q)(2,1-q). Since Norm(r) =
-17, (2, r) = (1) as well. It turns out that all of the norms of the
other elements listed above are even, so each of those ideals is a
product of some of the factors lying over 2, and not all of them are
different ideals. When the norm is divisible by 2 but not 4, we can
be certain that the ideal has norm 2 and is therefore a prime ideal of
degree 1 lying over 2. Since Norm(q+r+1) = 38 and Norm(t+1) = -38, we
know that (2,t+1) and (2,q+r+1) are prime ideals lying over 2. You
can check that 1-q is an element of the first and q is an element of
the second, which implies that both (2,q) and (2,q+1) split. In fact,
the first one ramifies, and so it turns out that

(2) = (2,q)(2,q+1)
(2,q) = (2,q+r+1)^2
(2,q+1) = (2,t+q+1)(2,t+1)

where (2,t+1) = (2,t+r) and (2,t+q+1) = (2,t+q+r). While the norm of
t+q+1 is -4, the norm of t+q-1 is -38, so that means that (2,t+q+1) =
(2,t+q-1) is also a degree-1 prime ideal lying over 2.

Of course, the easy way to answer these questions is to use a math
program like magma that is programmed to do ideal factorizations in
number fields. Now, magma is not a free program, but if your school
has a copy that you can use, for example, then you can just ask it for
the factorization of (2) in the number field, and it will tell you.

If you have any questions about this or need more help, please write
back and show me what you have been able to do, and I will try to
offer further suggestions.

- Doctor Vogler, The Math Forum