ПипкаПипкаПипка

links-zwo,links-zwo,links-zwo-drei-fier-links!

Взятые задачи(по новому стилю):
1 2(Миша) 3 4а(Сок) 4б 4в(Паша) 5 6 7 8 9 10 11а(НГ) 11б 12 13 14 15 16 17 18 19 20(Сок) 21(Сок) 22а 22б 23 24 25(Сок) 26 27 28 29(Па) 30 31 32 33 34 35 36 37 38 39 40 41 42 43 44 45 46(НГ) 47 48(Вовч) 49 50 51 52

Когда берете задачу--отписываетесь внизу и зачеркиваете циферку!!(я сделаю всех модераторами этой темы)

Задача 20.

Рассмотрим элемент с группы поворотов С порядка n. Рассмотрим действие этой группы на множестве раскрасок: раскраска x под действием элемента с поворачивается по своему направлению на n/d, где d - порядок с (то есть с - это поворот на n/d ) [тавтология]. Тогда под действием с раскраска остается на месте, если она разбивается на одинаково раскрашенные циклы с, то есть через n/d вершин вершины раскрашены одинаково. Очевидно, таких раскрасок a^n/d, а циклов порядка d - phi(d). Итого по лемме Бернсайда число орбит равно той сумме, а число орбит - это как раз число раскрасок (так как мы считаем две раскраски одинаковыми, если они совмещаются поворотом, то есть лежат в одной орбите какого-то элемента с)

Задача 21а

Как и раньше, группа вращений действием на множестве всевозможных раскрасок граней, число орбит под действием группы поворотов = число раскрасок, не совмещающихся при поворотах.
По лемме Бернсайда получаем 1/24*(3^6 + 3^3*6 + 3^4*3 + 3^2*8 + 3^5 *6) = 111
Здесь 9 поворотов: зафиксировали верх и низ (противоположные грани) куба (3 варианта) и дальше 3 поворота граней, 1 тождественный поворот, 8 поворотов вокруг диагоналей куба и 6 поворотов вокруг прямых, соединяющих середины противоположных рёбер.

Задача 22б разобрана тут http://booklists.narod.ru/M_Mathematics/MSch_School_level/Vilenkin_N.Ja._Populyarnaja_kombinatorika__ru__T__210s_.6.htm , только надо везде 2 на 3 поменять аккуратно. Ответ: 333

Задача 29:
Под разбиением здесь понимается нечто другое, х.з что честно говоря, но точно не то что на вики написано. Но если вдруг вы догадались что пипушка имел в виду то можно лишь доказать рекуррентное соотношение, очевидное для количества инволюций в S_n:
Код:
f(n)=f(n-1)+(n-1)*f(n-2)

Задача 4Б:

ro(sigma) на одну V-шку действует сразу сигма-квадратом, а на вторую не действует вообще, а потом их переставляет

25. На сей раз циклическая группа С действует на мономах (понятно, как).
Смотрим на моном а, действуем на него элементом с порядка d, в каком случае моном перейдет в себя? Ответ: если переменные разбиваются на циклы с равными показателями степеней.
1) из этого следует, что d | m, так как каждый показатель (степени) встретится d раз, а сумма таких величин равна m
2) число способов выбрать показатели степеней равно числу способов разбить m/d в сумму n/d слагаемых - это и есть та цэшка (если непонятно, почему она - спросите, я не пишу, так как это стандартный факт из комбинаторики)
Значит, по лемме Бёрнсайда имеем сумму по циклическим сдвигам с, а так как с фиксированным d есть \phi(d) сдвигов, то получается формула из условия (почему число орбит = размерности - как и в предыдущих задачах)

4В:
Пусть ро это представление группы G неприводимое над пространством W
Тогда:
а) пусть ро также неприводимое представление группы G. Тогда ро(сигма)=А и все оки-доки
б) пусть не так. Тогда W=V+V', и оба они нетривиальные, причем, V остается на месте под действием Н
Заметим что оба подпространства тогда изоморфны и инвариантны для Н
Тогда я хочу сказать, что ро(сигма) должна по любому их менять местами
иначе у нее будет свое инвариантное подпространство, а значит и у всего G будет инв.подпр-во.
Вот, ро(сигма) меняет их местами, и при этом че-то с ними делает, да причем что-то такое, что в квадрате дает ро(сигмаквадрат) на каждой половине
Дальше у меня не получается доказать что на второй половине представление будет таким же как на первой с точностью до сопряжения сигмой и умножения на sgn
это выглядит просто, но я уже не варю

11a) sum( |ch(a)|^2 )=1/2*sum( |ch(a)|^2 + |ch(1/a)|^2 ) >= sum( |ch(a)|*|ch(1/a)|) = sum(|ch(1)|)

Задача 14:


взято отсюда
[/color]


46.

По формуле фробениуса количество представить = |C|^n/n!*sum( chi(g)^m / (d_chi)^(m-2) )
Где С - класс сопряженности цикла длины n, они все между собой сопряжены (он этим пользовался,поэтому и нам можно). Характер на всех элементах одного класса сопряженности одинаковый, поэтому формула именно такая.

|C|=(n-1)! очевидно.
По задачи 45 chi(g) = (-1)^r, если разбиение имеет вид (n-r) 1..1, иначе 0.
d_chi для разбиение (n-r) 1..1 = C из n по r(обозначу c(n,r) ), тк 1 столько способов выбрать.

значит наше количество = ((n-1)!)^n/n!*sum( (-1)^(rm)/c(n,r)^(m-2),r=0..n-1)

Задача 2.

1. Пусть Х --- характер на группе G, g^2 = 1. Док-ть, что X(g)=X(1) mod 2.
Действительно, посмотрим на представление для группы G в котором X есть след (как я понимаю, характеры --- это в точности следы всевозможных представлений). Заметим, что матрица g диагонализиуема (т. к. нетривиальная клетка Жордана не может в квадрате давать 1). Так же нетрудно видеть, что все с. ч. g будут квадратными корнями из 1, т.е. +-1. А теперь заметим, что +1 = -1 mod2. Осталось только вспомнить, что след = сумма с.ч.
2. Доп условие, полученное от Пименова --- ordG>2. G простая => X(g)=X(1) mod 4.
Если выполнен п. 1 плюс det(g) > 0, то все доказано (т. к. -1 четное число, а -2=2 mod4). Посмотрим на {h: det(h)>0}=H. Н очевидно нормальная подгруппа. Так же если
det(g)<0, то она собственная. Пусть H={1}. Существуют a,b из G\H такие, что ab != 1 (так как ordG>2). По предположению det(a) < 0, det(b) < 0 => det(ab) > 0, что приводит нас к противоречию. Таким образом, если det(g) < 0, то H нетривиальная собственная нормальная подгруппа, а значит G не простая группа. Но так не может быть!! Ура.
Коррект:
Собсвенные числа и определитель у элементов G могут могут быть
комплексными.
Но если есть элементы с комплексным определителем, то надо посмотреть
подгруппу с целым опредителем. Она тоже, очевидно, нормальна. И все хорошо.

4А
итак,
ro(sigma^2 * h * sigma^-2)=A^2*h*A^-2=a^2*h*a^-2
==> (A*a-1)^2 *h=h* (a-1*A)^2 для любого h
пусть есть нетривиальное собственное подпространство О, состоящее из векторов о таких что (A*a-1)^2 *о=лямбда*о
Тогда для любого h верно следующее:
(A*a-1)^2 *h*о=h* (a-1*A)^2*о=лямбда*h*о, то есть h*о содержится в собств подпространстве оператора (A*a-1)^2 соотв числу лямбда, то есть h*о лежит в O для любого h

отсюда следует что О это либо ноль, либо все пространство
Пусть О это все пространство. Тогда мы все доказали
Пусть О это ноль. Это не так: возьмем любое собств подпространство для а^2, оно будет собственным подпространством для A^2*a^2

http://www.webqc.org/printable-symmetrypointgroup-ct-s6.html
это для 36 на 4 балла

Формула-Молина это http://en.wikipedia.org/wiki/Molien_series

Что-то не видно активности

Половина народу Кохася делает

Пора сосредоточиться и победить его

Почему задача 4а) - не очевидная? Положим \ro(\sigma) = A, а дальше продолжаем до гомоморфизма. Очевидно, что получится и очевидно, что на всей группе зададим. То есть построим представление. За что здесь 3 балла?

"Почему задача 4а) - не очевидная?"
Ну ты и дрянь: я прочитал условие, подумал--"очевидная, но 3 балла, видимо я опять где-то туплю"

Задача 26:
Под разбиением здесь понимается нечто другое, х.з что честно говоря, но точно не то что на вики написано. Но если вдруг вы догадались что пипушка имел в виду то можно лишь доказать рекуррентное соотношение, очевидное для количества инволюций в S_n:

Код:

f(n)=f(n-1)+(n-1)*f(n-2)

Задача 4Б:
как я понял, \ro + \ro^\sigma это отображение из H в эндоморфизмы прямой суммы V+V
Тогда давайте продолжим это представление на всю группу G:
Пусть g принадлежит G. Тогда существует такой h из Н что \sigma*h=g. Тогда образом g будет элемент \ro(h) + \ro^\sigma(h).
Вот, если бы такое представление было бы приводимо, то тогда либо ро либо ро-сигма было бы приводимо(так как инвариантное подпространство разваливалось бы на сумму инв. подпространств в каждом из V).

Задача 4В:
Ну, в общем, непонятно о чем здесь речь. Берем любое представление группы G ро. Пусть ро(сигма)=А. Тогда выполняются условия пункта а), так как представление--гомоморфизм(=>ро(сигма*h^-1 *сигма)=А*ро(h)*А^-1). При этом Н и сигма порождают всю группу G, значит всё остальное представление задается однозначно.
Таким образом, представление группы G получилось из представления группы Н посредством конструкции а).

Блин а я уж обрадовалась что решила пару задач - смотрю а тут сок про них уже понаписал.

Принесу хотяб так пользу обществу: вот конспект по пименову

http://rghost.ru/7392151
http://rghost.ru/7392741
http://rghost.ru/7393861
http://rghost.ru/7394361

Хэй, ребята которые сдавали личную задачу/ветви кривой, кто-нибудь из вас делал это на компе? Если да, пришлите пожалуйста!
Если нет, пожалуйста, объясните, или отфоткайте и пришлите.

Про ветви крывых - сдала пименову и увы уже не помню, но надо читать
Шафаревич. Основы алгебраической геометрии.
где-то в первых двух главах. Про нормальность, кажется, рядом

Спасибо

А условия он присылал, да?

да, там вроде она както разумно и узнаваемо называется у него - в отлшичии от названия задач на баллы

Я нашел очень важную ссылку. http://en.wikipedia.org/wiki/Character_theory . Теперь мы все сможем

Прочитайте кто нибудь мои решения задач, а то это будет фатально если их первый прочитает пименов.

И кстати: в каких задачах под характером понимается "след хитрожопой матрицы", а в каких--гомоморфизм в С?

Паша, если представления одномерное, то след и гомоморфизм в С - это одно и то же (матрицы 1 на 1 получаются), а для коммутативных групп все неприводимые представления - одномерные. То есть, если группа коммутативная, то речь заведомо о гомоморфизме в С

Паша, 4В - неправильно: откуда мы знаем, что представление H - неприводимое?
Кстати, что такое неприводимое представление? Без этого я не могу 4Б проверить) А 26 или 2б (не могу понять, цифра или буква) - не понял, о какой ты все-таки задачи? По последнему присланному списку если.
И да, мою писанину тоже проверь

СОК я думал об этом, но!!! если сужение на Н приводимое, то тогда как мы могли получить наше представление из а или б? оба этих пункта предполагают продолжение неприводимого представления

задача двадцать шесть(а теперь уже 29), я специально по этой причине пишу 4Б а не 4б и всем советую

приводимое представление--это если есть инвариантное нетривиальное подпространство

Насчет твоей писанины--я пока не знаю что за лемма Бернсайда такая

Насчет характеров: это я уже читал об этом, но почти во всех задачах конечность группы и размерность представления не указаны. Наверное, есть какие-то настройки "по умолчанию"

ну такое что нет инвариатного подпр-ва.
или то, которое нельзя разложить в сумму двух.
Представление группы G называется приводимым, если в векторном пространстве W есть подпространство, отличное от нулевого и самого W, инвариантное для всех преобразований В противном случае представление называется неприводимым или простым. Теорема Машке утверждает, что конечномерные представления конечных групп над полем характеристики ноль (или положительной, но не делящей порядок группы) всегда раскладываются в прямую сумму неприводимых.

Паша, нет, все-таки там мы предполагали, что представление H неприводимое. Вдруг есть неприводимое представление G для которого сужение на H - приводимое?
+ у тебя не получается "умножение на sgn", тут что-то нечисто.

Не понял, что в 26 ты не понимаешь?